Varianz (Stochastik)


Diese Ungleichung gehört zu den bedeutendsten in der Mathematik und findet vor allem in der linearen Algebra Anwendung. Kern der Portfoliotheorie ist die Unterscheidung in systematisches und unsystematisches Risiko. Für stetige Zufallsvariablen verwendet man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, um Wahrscheinlichkeiten über einem Intervall zu berechnen. Bei der Zulässigkeit von Leerverkäufen lassen sich die beiden Fälle, in denen das risikolose Wertpapier oder das riskante Wertpapier verkauft wird, unterscheiden.

Inhaltsverzeichnis


Diese Normierung ist eine lineare Transformation. Die Varianz einer Zufallsvariable wird immer in Quadrateinheiten angegeben. Um die gleiche Einheit wie die Zufallsvariable zu erhalten, wird daher statt der Varianz i.

Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel aus der Varianz [28] [29]. Bei einigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere der Normalverteilung , können aus der Standardabweichung direkt Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. So befinden sich bei der Normalverteilung immer ca. Sie ist für eine Nation und Geschlecht annähernd normalverteilt, so dass z. Im Gegensatz zur Varianz, die lediglich die Variabilität der betrachteten Zufallsvariable misst, misst die Kovarianz die gemeinsame Variabilität von zwei Zufallsvariablen.

Diese Beziehung folgt direkt aus der Definition der Varianz und Kovarianz. Diese Ungleichung gehört zu den bedeutendsten in der Mathematik und findet vor allem in der linearen Algebra Anwendung.

Berücksichtigt man das Verhalten der Varianz bei linearen Transformationen, dann gilt für die Varianz der Linearkombination , beziehungsweise der gewichteten Summe, zweier Zufallsvariablen:.

Dies bedeutet, dass die Variabilität der Summe zweier Zufallsvariablen der Summe der einzelnen Variabilitäten und dem zweifachen der gemeinsamen Variabilität der beiden Zufallsvariablen ergibt. Diese Formel lässt sich auch verallgemeinern: Diese Formel für die Varianz des Stichprobenmittels wird bei der Definition des Standardfehlers des Stichprobenmittels benutzt, welcher im zentralen Grenzwertsatz angewendet wird.

Diese Aussage ist auch als Blackwell-Girshick-Gleichung bekannt. Mithilfe der momenterzeugenden Funktion lassen sich Momente wie die Varianz häufig einfacher berechnen. Die kumulantenerzeugende Funktion einer Zufallsvariable ergibt sich als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion und ist definiert als:. Die zweite Kumulante ist also die Varianz. In der Stochastik gibt es eine Vielzahl von Verteilungen , die meist eine unterschiedliche Varianz aufweisen und oft in Beziehung zueinander stehen.

Eine Auswahl wichtiger Varianzen ist in nachfolgender Tabelle zusammengefasst:. Diese Werte lassen sich in folgender Tabelle zusammenfassen. Eine stetige Zufallsvariable habe die Dichtefunktion. Aus diesem Grund stellt wie oben gezeigt die Stichprobenvarianz.

Analog zu bedingten Erwartungswerten lassen sich beim Vorliegen von Zusatzinformationen, wie beispielsweise den Werten einer weiteren Zufallsvariable, bedingte Varianzen bedingter Verteilungen betrachten.

Da die Varianzen und Kovarianzen per Definition stets nicht-negativ sind, gilt analog für die Varianz-Kovarianz-Matrix, dass sie positiv semidefinit ist.

Weitergeleitet von Standardabweichung Wahrscheinlichkeitstheorie. Für die Varianz einer Stichprobe siehe Stichprobenvarianz , weitere Bedeutungen finden sich unter Varianz.

Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Springer, ISBN , 6. Einführung in den Entwurf und die Analyse effizienter Algorithmen. Probability and Measure , 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Brockhaus, Naturwissenschaften und Technik — Sonderausgabe. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung.

Der Weg zur Datenanalyse. The correlation between relatives on the supposition of Mendelian inheritance. Griffiths, Helmut Lütkepohl , T. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.

Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Statistik für Bachelor- und Masterstudenten. Einführung in die Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. On the exact variance of products. Journal of the American Statistical Association. Zusätzlich wollen wir die Möglichkeit von Leerverkäufen LV annehmen.

In den behandelten Fällen wird ein riskantes Wertpapier, das mit Kurs- und Ausfallrisiko auch: Währungsrisiko behaftet ist, betrachtet.

Die risikolose Anlage kann durch ein staatliches Wertpapier simuliert werden. Die Laufzeit muss dabei mit der Planungsperiode übereinstimmen. Bei der Zulässigkeit von Leerverkäufen lassen sich die beiden Fälle, in denen das risikolose Wertpapier oder das riskante Wertpapier verkauft wird, unterscheiden. Die Ausleihe bedeutet, dass der Partei, die die Aktie zur Ausleihe bereitstellt, alle aus dem Besitz der Aktie resultierenden Zahlungen Dividenden erstattet werden, und dass die Aktie am Ende der Laufzeit am Markt zurückgekauft und dieser Partei zurückgegeben wird.

Deshalb sind durch Leerverkauf der riskanten Anlage erzeugte Portfolios in diesem Fall nicht effizient. Die Rendite des riskanten Wertpapiers ist kleiner als der risikolose Zins und es gibt keine Leerverkäufe.

Dies bedeutet, dass beide Wertpapiere im Ausgangsportfolio mit positiven Anteilen vertreten sind. Bei Dachfonds stellt sich bspw.

Dies muss nicht zutreffen, da. Man versucht, ein optimales Portfolio zu finden. Dies ist abhängig von der Risikopräferenz des Investors. Bei optimalen Portfolios gilt, dass die Steigung der Indifferenzkurve des Investors gleich der Steigung der Effizienzlinie ist.

Die komparative Statik ergibt, dass der Anteil des riskanten Wertpapiers:. Die Investoren, die sich an der erwarteten Rendite und dem erwarteten Risiko orientieren, halten nie ein vollständig risikoloses Portfolio. Das wichtigste Resultat der Portfoliotheorie ist die Risikodiversifikation: Es existiert für jeden Investor ein so genanntes optimales Portfolio aus allen Anlagemöglichkeiten, das dessen Risiko-Chancen-Profil bestmöglich abbildet.

Dieses optimale Portfolio hängt dabei weder von dem ursprünglichen Vermögen des Investors noch seiner unmittelbaren Risikoeinstellung ab. Dies ist die gesichtete Version , die am 8. November markiert wurde. Es gibt 1 ausstehende Änderung , die noch gesichtet werden muss. Navigation Hauptseite Themenportale Zufälliger Artikel.

In anderen Projekten Commons. Möglicherweise unterliegen die Inhalte jeweils zusätzlichen Bedingungen.